Was ist Eulers Formel?

Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler des 18. Jahrhunderts entwickelte zwei Gleichungen, die gekommen, als Eulers Formel bekannt. Eine dieser Gleichungen bezieht die Zahl Gipfeln, Gesichtern und Rändern auf einem Polyeder. Die andere Formel bezieht die fünf allgemeinsten mathematischen Konstanten miteinander. Diese zwei Gleichungen ordneten an zweiter Stelle und zuerst beziehungsweise als die elegantesten mathematischen Resultate nach Ansicht „des mathematischen Intelligencer.“

Eulers Formel für Polyeder genannt manchmal auch das Euler-Descartes Theorem. Sie angibt e, dass die Zahl Gesichtern, plus die Zahl Gipfeln, minus der Zahl Rändern auf einem Polyeder immer zwei entspricht. Es geschrieben während F + V - E = 2. zum Beispiel, ein Würfel hat sechs Gesichter, acht Gipfel und 12 Ränder. Verstopfung in Eulers Formel, 6 + 8 - 12 tut tatsächlich Gleichgestelltes zwei.

Es gibt Ausnahmen zu dieser Formel, weil sie nur zutreffend für ein Polyeder hält, das nicht schneidet. Weithin bekannte geometrische Formen einschließlich Bereiche, Würfel, tetrahedra und Octagons sind alle non-intersecting Polyeder. Ein schneidenes Polyeder verursacht jedoch wenn jemand, zwei der Gipfel eines non-intersecting Polyeders zu verbinden waren. Dieses ergeben das Polyeder, welches die gleiche Zahl Gesichtern und Rändern, aber haben, ein weniges vertice, also liegt es auf der Hand, dass die Formel nicht mehr zutreffend ist.

Einerseits kann eine allgemeinere Version von Eulers Formel an den Polyedern angewendet werden, die schneiden. Diese Formel ist in der Topologie häufig benutzt, die die Studie der räumlichen Eigenschaften ist. In dieser Version der Formel, F + V - E ist einer Zahl gleich, die Eulers Eigenschaft genannt, die häufig durch das griechische Buchstabechi symbolisiert. Z.B. haben der ringförmige Torus und der Mobius Streifen eines Eulers, das von null charakteristisch ist. Eulers Eigenschaft kann kleiner als null auch sein.

Die zweite des Eulers Formel umfaßt die mathematischen Konstanten e, i, Π, 1 und 0. E, das häufig Eulers Zahl genannt und eine irrationale diese Zahl Umläufe bis 2.72 ist. Die imaginäre Zahl I definiert als die Quadratwurzel von -1. PU (Π), das Verhältnis zwischen dem Durchmesser und der Umfang eines Kreises, ist ungefähr 3.14 aber, wie e, ist eine irrationale Zahl.

Diese Formel geschrieben als e (i*Π) + 1 = 0. Euler entdeckte dass, wenn Π für x in der trigonometrischen Identität e (i*Π) = Lattich ersetzt (x) + i*sin (x), das Resultat war, was wir jetzt als Eulers Formel wissen. Zusätzlich zur in Beziehung dieser fünf grundlegenden Konstanten, zeigt die Formel auch die, die eine irrationale Zahl zur Energie einer eingebildeten irrationalen Zahl aufwirft, kann eine reale Zahl ergeben.