Was ist Mengenlehre?

Mengenlehre festsetzt die meisten der Grundlage der modernen Mathematik und wurde formalisiert Ende der 1800s. Mengenlehre beschreibt einige sehr grundlegende und intuitive Ideen über, wie die Sachen, die „Elemente“ oder „Mitglieder“ genannt werden, zusammen in Gruppen passen. Trotz der offensichtlichen Einfachheit der Ideen, Mengenlehre ist ziemlich rigoros. Beim Suchen, alle Willkür in ihren Theorien zu beseitigen, fine-tuned Mathematiker Mengenlehre zu einem eindrucksvollen Grad in den Jahren.

In Mengenlehre ist ein Satz irgendeine gut definierte Gruppe Elemente oder Mitglieder. Sätze werden normalerweise durch kursiv druckene Großbuchstaben wie A oder B. symbolisiert. Wenn zwei Sätze die gleichen Mitglieder enthalten, können sie als Äquivalent mit einem Gleichheitszeichen gezeigt werden.

Der Inhalt eines Satzes kann auf einfaches Englisch beschrieben werden: A = alle terrestrischen Säugetiere. Inhalt kann innerhalb der Haltewinkel aufgeführt auch sein: A = {Bären, Kühe, Schweine, etc.} für große Sätze, Ellipsis kann eingesetzt werden, wo das Muster des Satzes auf der Hand liegt. Z.B.A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Eine Art Satz hat nullmitglieder, den Satz, der als der leere Satz bekannt ist. Sie wird durch null mit einer diagonalen Linie das Steigen von links nach rechts verlaufend symbolisiert. Obwohl scheinbar trivial, fällt sie aus, ziemlich wichtig zu sein mathematisch.

Einige Sätze andere Sätze enthalten, folglich, die Supersets beschriftet sind. Die enthaltenen Sätze sind Teilmengen. In Mengenlehre gekennzeichnet dieses Verhältnis als „Einbeziehung“ oder „Eindämmung,“ symbolisiert durch eine Darstellung, der aussehen wie der Buchstabe U 90 Grad rechts drehten. Grafisch kann dieses als Kreis, der innerhalb ander, größerer Kreis dargestellt werden enthalten wird.

Einige allgemeine Sätze in Mengenlehre umfassen N, den Satz aller natürlichen Zahlen; Z, der Satz aller ganzen Zahlen; Q, der Satz aller rationalen Zahlen; R, der Satz aller realen Zahlen; und C, der Satz aller komplizierten Zahlen.

Wenn zwei Sätze überschneiden, aber kein vollständig innerhalb des anderen eingebettet wird, wird die ganze Sache einen Anschluss der Sätze genannt. Dieses wird durch ein Symbol dargestellt, das dem Buchstaben U, aber etwas weit ähnlich ist. In der Satzdarstellung bedeutet A U B „den Satz der Elemente, die Mitglieder entweder von A oder von B sind“. Dieses Symbol gedreht drehen und Sie erhalten den Durchschnitt von A und von B, das auf alle Elemente sich bezieht, die Mitglieder beider Sätze sind. In Mengenlehre können Sätze von einander, mit dem Ergebnis der Ergänzungen „auch subtrahiert werden“. Z.B.B - A ist mit dem Satz der Elemente gleichwertig, die Mitglieder von B aber von nicht A. sind.

Von den oben genannten Grundlagen wird die meisten von Mathematik abgeleitet. Fast alle mathematischen Systeme enthalten Eigenschaften, die in Mengenlehre ausgedrückt grundlegend beschrieben werden können.